并查集与最小生成树

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并查集

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询

问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定

顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。。

在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的

集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个

集合中。这样的问题看起来似乎很简单，每次直接暴力查找即可，但是我们需要注意的问题

是，在数据量非常大的情况下，那么时间复杂度将达到O（N*n）(n为查询次数)，那么这类问

题在实际应用中，如果采取上述方法去做的话，耗费的时间将是巨大的。而如果用常规的数据

结构去解决该类问题的话（顺序结构，普通树结构等），那么计算机在空间上也无法承受。所

以，并查集这种数据结构便应运而生了。

介绍链接
深入理解

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故事读完，并查集就会了~~~~~
江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。
但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。
这样一来，江湖上就形成了一个一个的帮派，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个帮派的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，
于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物。这样，每个圈子就可以这样命名“中国同胞队”美国同胞队”……
两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长要判断自己的队长是谁，
只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样，想打一架得先问个几十年，饿都饿死了，受不了。
这样一来，队长面子上也挂不住了，不仅效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，
我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，
就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否是一个帮派的，至于他们是如何通过朋友关系相关联的，
以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，都不重要了。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

下面我们来看并查集的实现。
int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。
如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。
每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。

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//find函数来查找队长
int pre[1000 ];  
int find(int x)                                       //查找根节点  
{   
    int r=x;  
    while ( pre[r] != r )                           //返回根节点 r  
        r=pre[r];  
   
    int i=x , j ;  
    while( i != r )                                   //路径压缩  
    {  
        j = pre[ i ];              // 在改变上级之前用临时变量  j 记录下他的值   
        pre[ i ]= r ;              //把上级改为根节点  
        i=j;  
    }  
    return r ;  
}

路径压缩(有时候在find函数里面可以省略)

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再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样，我也无法预知，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。
 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能干一场。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？”
 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 
 “哎呀呀，原来是自己人，有礼有礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。
 “等等等等，两位大侠请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 
 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其实偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起结拜在曹公公手下吧，省得级别太低，
 以后查找掌门麻烦。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 
 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上
 。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂可以自己模拟一下，很简单的一个递归而已。总之它所实现的功能就是这么个意思。

再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。
这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？
还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹帅锅与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，
那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。
这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，
我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！
反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？
我抗议！”于是，两人相约一战，杀的是天昏地暗，风云为之变色啊，但是啊，这场战争终究会有胜负，胜者为王。弱者就被吞并了。
反正谁加入谁效果是一样的，门派就由两个变成一个了。这段函数的意思明白了吧？

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//join函数连接  注意：join函数一般写在find函数下边

void join(int x,int y)                           //判断x y是否连通，  
//如果已经连通，就不用管了 如果不连通，就把它们所在的连通分支合并起,  
{  
    int fx=find(x),fy=find(y);  
    if(fx!=fy)  
        pre[fx]=fy;  
}

最小生成树

1.最小生成树概念：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树（使所有点联通+建立所有边的代价和最小）

2.最小生成树应用：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，
且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

1.Prim（普里姆）算法（加点法）

(1)算法思想：以任意一点为树根出发，集合V是已经确定最短路的点集合，集合U是没有确立最短路的集合。初始时只有树根点在V中。

每一次循环就代表要修建一条最短路，到达没到达的点（U），我们只能从已经建成的局部最短路点集V中选取V中所有已确定点能到达的所有其他点里面最小的来建设，
有点贪心思想，每次选取代价最小的路，逐渐完善点，知道恰好覆盖所有的点。

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#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f

int G[1000][1000];//邻接矩阵存图
int dis[1000];//存储最小距离（总的集合U里的）

bool judge[1000];//判断该点是否已经加入最小点集合

int pre[1000];//记录每个点的前导，用于输出路径
int n,m;
int prim(int a)
{
    int sum=0;//记录总和
    int pos;//记录位置
    int minn;

    judge[a]=1;
    pos=a;

    for(int i=1; i<=n-1; i++)
    {
        minn=INF;

        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(!judge[j]&&dis[j]<minn)
            {
                pos=j;
                minn=dis[j];
            }
        }
        judge[pos]=1;
        sum+=minn;
        cout<<"V"<<pre[pos]<<" -- "<<"V"<<pos<<" is "<<minn<<endl;

        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(dis[j]>G[pos][j]&&!judge[j])
            {
                dis[j]=G[pos][j];
                pre[j]=pos;
            }
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
	
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;

        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(i==j)
                    G[i][j]=0;
                else
                    G[i][j]=INF;
            }
        }
        memset(judge,0,sizeof(judge));
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            int a,b,c;
            cin>>a>>b>>c;

            G[a][b]=G[b][a]=c;
        }
        int s;

        cin>>s;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            pre[i]=s;
            dis[i]=G[s][i];
        }
        int k=prim(s);

        cout<<k<<endl;
    }
    return 0;
}

2.克鲁斯克尔（Kruskal）算法（加边法）(贪心+并查集=最小生成树)

算法思想：最小生成树最后一定是只有n-1条边！所以我们只要选取最小的n-1条边来吧n个点联通起来即可，但是注意不能产生回路，于是我们就用到了并查集！

记Graph中有v个顶点，e条边；
新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中的v个顶点，但没有边;
将原图Graph中所有e条边按权值从小到大排序；
循环：从权值最小的边开始，判断并添加每条边，直至添加了n-1条边：
注意：加边的条件是不产生回路！即要连接的两定点不在一个集合里面！（并查集判断是否可以加边）

Kruskal算法的证明。假设图连通，我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树，并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中，而不在T中最小权值的边e。

把e加入T中，则形成一个圈，删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性，如果全里面所有的边都在K中，则K包含圈，矛盾。

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#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Node
{
    int s,e,v;
    bool operator <(const Node &n)const{
        return v<n.v;
    }
};
Node node[1000];
int pre[1000];
int ranked[1000];
int n,m;

int finded(int v)//查找
{
	int i=v;
    while(i!=pre[i])//return pre[v]=v?v:pre[v]=find(pre[v]);//递归
        i=pre[i];

    int j;
    while(v!=i)
    {

        j=pre[v];
        pre[v]=i;

        v=j;
    }
    return i;
}
void join(int a,int b)//合并
{
    int fx=finded(a);
    int fy=finded(b);
    if(fx!=fy)
    {
        if(ranked[fx]<ranked[fy])
        {
            pre[fx]=fy;
        }
        else
        {
            pre[fy]=fx;
            if(ranked[fx]==ranked[fy])
                ranked[fx]++;
        }
    }
}
int Kruskal()
{
    sort(node,node+m);
    int sizen=0;
    int sum=0;

    for(int i=0;i<m&&sizen!=n-1;i++)
    {
        if(finded(node[i].s)!=finded(node[i].e))
        {
            join(node[i].s,node[i].e);
            sum+=node[i].v;
            sizen++;
        }
    }
    if(sizen<n-1)return -1;

    return sum;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
	
    memset(ranked,0,sizeof(ranked));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        pre[i]=i;
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>node[i].s>>node[i].e>>node[i].v;
    }
    int k=Kruskal();

    cout<<k<<endl;
    return 0;
}

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