并查集与最小生成树

并查集

并查集是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询

问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合,也就是按一定

顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。。

在一些有N个元素的集合应用问题中,我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的

集合,然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并,其间要反复查找一个元素在哪个

集合中。这样的问题看起来似乎很简单,每次直接暴力查找即可,但是我们需要注意的问题

是,在数据量非常大的情况下,那么时间复杂度将达到O(N*n)(n为查询次数),那么这类问

题在实际应用中,如果采取上述方法去做的话,耗费的时间将是巨大的。而如果用常规的数据

结构去解决该类问题的话(顺序结构,普通树结构等),那么计算机在空间上也无法承受。所

以,并查集这种数据结构便应运而生了。

介绍链接
深入理解

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故事读完,并查集就会了~~~~~
江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。
但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。
这样一来,江湖上就形成了一个一个的帮派,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个帮派的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,
于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物。这样,每个圈子就可以这样命名“中国同胞队”美国同胞队”……
两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长要判断自己的队长是谁,
只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样,想打一架得先问个几十年,饿都饿死了,受不了。
这样一来,队长面子上也挂不住了,不仅效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,
我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,
就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否是一个帮派的,至于他们是如何通过朋友关系相关联的,
以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,都不重要了。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。

下面我们来看并查集的实现。
int pre[1000]; 这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号(依据题意而定),pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。
如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。
每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。

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//find函数来查找队长
int pre[1000 ];
int find(int x) //查找根节点
{
int r=x;
while ( pre[r] != r ) //返回根节点 r
r=pre[r];

int i=x , j ;
while( i != r ) //路径压缩
{
j = pre[ i ]; // 在改变上级之前用临时变量 j 记录下他的值
pre[ i ]= r ; //把上级改为根节点
i=j;
}
return r ;
}

路径压缩(有时候在find函数里面可以省略)

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再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样,我也无法预知,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。
设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能干一场。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?”
上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。
“哎呀呀,原来是自己人,有礼有礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。
“等等等等,两位大侠请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。
白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其实偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起结拜在曹公公手下吧,省得级别太低,
以后查找掌门麻烦。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。
这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上
。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂可以自己模拟一下,很简单的一个递归而已。总之它所实现的功能就是这么个意思。

再来看看join函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。
这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个pre[]数组,该如何实现呢?
还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹帅锅与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,
那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。
这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,
我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!
反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?
我抗议!”于是,两人相约一战,杀的是天昏地暗,风云为之变色啊,但是啊,这场战争终究会有胜负,胜者为王。弱者就被吞并了。
反正谁加入谁效果是一样的,门派就由两个变成一个了。这段函数的意思明白了吧?

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//join函数连接  注意:join函数一般写在find函数下边

void join(int x,int y) //判断x y是否连通,
//如果已经连通,就不用管了 如果不连通,就把它们所在的连通分支合并起,
{
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy)
pre[fx]=fy;
}

最小生成树

1.最小生成树概念:在连通网的所有生成树中,所有边的代价和最小的生成树,称为最小生成树(使所有点联通+建立所有边的代价和最小)

2.最小生成树应用:要在n个城市之间铺设光缆,主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信,但铺设光缆的费用很高,
且各个城市之间铺设光缆的费用不同,因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

1.Prim(普里姆)算法(加点法)

(1)算法思想:以任意一点为树根出发,集合V是已经确定最短路的点集合,集合U是没有确立最短路的集合。初始时只有树根点在V中。

每一次循环就代表要修建一条最短路,到达没到达的点(U),我们只能从已经建成的局部最短路点集V中选取V中所有已确定点能到达的所有其他点里面最小的来建设,
有点贪心思想,每次选取代价最小的路,逐渐完善点,知道恰好覆盖所有的点。

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#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f

int G[1000][1000];//邻接矩阵存图
int dis[1000];//存储最小距离(总的集合U里的)

bool judge[1000];//判断该点是否已经加入最小点集合

int pre[1000];//记录每个点的前导,用于输出路径
int n,m;
int prim(int a)
{
int sum=0;//记录总和
int pos;//记录位置
int minn;

judge[a]=1;
pos=a;

for(int i=1; i<=n-1; i++)
{
minn=INF;

for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(!judge[j]&&dis[j]<minn)
{
pos=j;
minn=dis[j];
}
}
judge[pos]=1;
sum+=minn;
cout<<"V"<<pre[pos]<<" -- "<<"V"<<pos<<" is "<<minn<<endl;

for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(dis[j]>G[pos][j]&&!judge[j])
{
dis[j]=G[pos][j];
pre[j]=pos;
}
}
}
return sum;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;

while(T--)
{
cin>>n>>m;

for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(i==j)
G[i][j]=0;
else
G[i][j]=INF;
}
}
memset(judge,0,sizeof(judge));
for(int i=0; i<m; i++)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;

G[a][b]=G[b][a]=c;
}
int s;

cin>>s;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
pre[i]=s;
dis[i]=G[s][i];
}
int k=prim(s);

cout<<k<<endl;
}
return 0;
}

2.克鲁斯克尔(Kruskal)算法(加边法)(贪心+并查集=最小生成树)

算法思想:最小生成树最后一定是只有n-1条边!所以我们只要选取最小的n-1条边来吧n个点联通起来即可,但是注意不能产生回路,于是我们就用到了并查集!

记Graph中有v个顶点,e条边;
新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中的v个顶点,但没有边;
将原图Graph中所有e条边按权值从小到大排序;
循环:从权值最小的边开始,判断并添加每条边,直至添加了n-1条边:
注意:加边的条件是不产生回路!即要连接的两定点不在一个集合里面!(并查集判断是否可以加边)

Kruskal算法的证明。假设图连通,我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树,并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中,而不在T中最小权值的边e。

把e加入T中,则形成一个圈,删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性,如果全里面所有的边都在K中,则K包含圈,矛盾。

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#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Node
{
int s,e,v;
bool operator <(const Node &n)const{
return v<n.v;
}
};
Node node[1000];
int pre[1000];
int ranked[1000];
int n,m;

int finded(int v)//查找
{
int i=v;
while(i!=pre[i])//return pre[v]=v?v:pre[v]=find(pre[v]);//递归
i=pre[i];

int j;
while(v!=i)
{

j=pre[v];
pre[v]=i;

v=j;
}
return i;
}
void join(int a,int b)//合并
{
int fx=finded(a);
int fy=finded(b);
if(fx!=fy)
{
if(ranked[fx]<ranked[fy])
{
pre[fx]=fy;
}
else
{
pre[fy]=fx;
if(ranked[fx]==ranked[fy])
ranked[fx]++;
}
}
}
int Kruskal()
{
sort(node,node+m);
int sizen=0;
int sum=0;

for(int i=0;i<m&&sizen!=n-1;i++)
{
if(finded(node[i].s)!=finded(node[i].e))
{
join(node[i].s,node[i].e);
sum+=node[i].v;
sizen++;
}
}
if(sizen<n-1)return -1;

return sum;
}
int main()
{
cin>>n>>m;

memset(ranked,0,sizeof(ranked));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
pre[i]=i;
}
for(int i=0;i<m;i++)
{
cin>>node[i].s>>node[i].e>>node[i].v;
}
int k=Kruskal();

cout<<k<<endl;
return 0;
}

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